《大学物理AⅡ》第一学期期末试卷A (精选03)
可能用到的物理常数
真空介电常量 $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \ \mathrm{C^2 \cdot N^{-1} \cdot m^{-2}}$，真空磁导率 $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ \mathrm{N \cdot A^{-2}}$，
普朗克常量 $h = 6.63 \times 10^{-34} \ \mathrm{J \cdot s}$，基本电荷 $e = 1.60 \times 10^{-19} \ \mathrm{C}$，
电子质量 $m_\mathrm{e} = 9.11 \times 10^{-31} \ \mathrm{kg}$，质子质量 $m_\mathrm{p} = 1.67 \times 10^{-27} \ \mathrm{kg}$。
一、选择题（共 24分，单选，每题 3分）
- 下列正确的是
- A. 闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面内一定无电荷
- B. 闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面内电荷代数和必为零
- C. 闭合曲面电通量为零时，曲面各点电场强度必为零
- D. 闭合曲面电通量不为零时，曲面上任意一点电场强度都不为零
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答案：B
解析：
- A：各点 $\vec{E}=0$，由高斯定理 $q_{内}/\varepsilon_0 = 0$，只说明电荷代数和为零，可能有等量异号电荷。❌
- B：由高斯定理 $\oint \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=q_{内}/\varepsilon_0=0$，内部电荷代数和必为零。✅
- C：电通量为零只说明净通量为零，不代表各点 $\vec{E}=0$。❌
- D：电通量不为零不代表每点场强都不为零。❌
难度: ⭐ 考点: #高斯定理 #电通量 #静电场
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📖 相关公式与知识点:
- 高斯定理：$\oint_S \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = \dfrac{q_{内}}{\varepsilon_0}$
- "电荷代数和为零" ≠ "无电荷"
思路分析
区分"场强处处为零"和"电通量为零"两个概念。前者是充分条件，后者只是必要条件。
易错点
- 混淆"电荷代数和为零"与"无电荷"
- 电通量为零 ≠ 场强处处为零
🔄 举一反三
- 闭合曲面内无电荷，能否推出曲面上各点场强为零？
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答案：不能 解析：内部无电荷只说明净通量为零，外部电荷仍可在曲面上产生非零场强。
- 一带电的平行板电容器中，均匀充满电介质，若在其中挖去一个球形空腔，如图所示，则 A、B两点的场强
- A. $E_A > E_B$
- B. $E_A > E_B = 0$
- C. $E_A = E_B$
- D. $E_A < E_B$
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答案：A
解析：
A点位于空腔内（无电介质），退极化场消失，场强增大；B点位于电介质中，场强为 $E_0/\varepsilon_r$。球形空腔内场强 $E_A = \dfrac{3E_0}{2\varepsilon_r+1} > \dfrac{E_0}{\varepsilon_r} = E_B$（因为 $\varepsilon_r > 1$）。
难度: ⭐⭐ 考点: #电介质 #退极化场 #空腔场强
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📖 相关公式与知识点:
- 电介质中场强：$E = E_0/\varepsilon_r$
- 球形空腔内场强：$E_{腔} = \dfrac{3\varepsilon_r}{2\varepsilon_r+1}\cdot\dfrac{E_0}{\varepsilon_r}$
思路分析
空腔内无电介质，退极化场消失，场强比介质中大。
易错点
- 误认为空腔内场强为零
- 忽略退极化场的作用
🔄 举一反三
- 若挖去针形空腔（长轴沿电场方向），腔内场强如何？
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答案：$E_{腔} = E_0/\varepsilon_r$（与介质中相同） 解析：针形空腔退极化因子趋于零，腔内场强不受影响。
- 如图所示，一个半径为 $R$ 的带电塑料圆盘，其中半径为 $r$ 的阴影部分均匀带正电，面电荷密度为 $+\sigma$，其余部分均匀带负电，面电荷密度为 $-\sigma$。当圆盘以角速度 $\omega$ 绕中心垂直轴旋转时，测得圆盘中心 $O$ 点的磁感应强度为零。则 $R$ 与 $r$ 满足
- A. $R = 3r$
- B. $R = 2r$
- C. $R = \sqrt{3}\,r$
- D. $R = \sqrt{2}\,r$
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答案：B
解析：
内盘（$+\sigma$，半径 $r$）在中心磁场：$B_1 = \dfrac{\mu_0\sigma\omega r}{2}$
外环（$-\sigma$，$r$ 到 $R$）在中心磁场：$B_2 = -\dfrac{\mu_0\sigma\omega(R-r)}{2}$
令 $B_1 + B_2 = 0$：$r = R - r$，得 $R = 2r$。
难度: ⭐⭐ 考点: #旋转带电体 #圆电流磁场 #磁场叠加
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📖 相关公式与知识点:
- 旋转圆盘中心磁场：$B = \dfrac{\mu_0\sigma\omega a}{2}$（$a$ 为半径）
- 等效圆电流：$\mathrm{d}I = \sigma\omega\rho\,\mathrm{d}\rho$
思路分析
将旋转圆盘分割为同心圆电流，分别计算内盘和外环贡献，令叠加为零。
易错点
- 圆电流中心磁场是 $\mu_0 I/(2R)$，不是 $\mu_0 I/(2\pi R)$
- 内外电荷密度符号相反
🔄 举一反三
- 若圆盘整体带正电（面密度 $\sigma$），中心磁场为多少？
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答案：$B = \dfrac{\mu_0\sigma\omega R}{2}$解析：$B = \int_0^R \dfrac{\mu_0\sigma\omega}{2}\mathrm{d}\rho = \dfrac{\mu_0\sigma\omega R}{2}$。
- 有两个长直密绕螺线管，长度及线圈匝数均相同。半径分别为 $r_1$ 和 $r_2$。管内充满均匀介质，其磁导率分别为 $\mu_1$ 和 $\mu_2$。设 $r_1 : r_2 = 1 : 2$，$\mu_1 : \mu_2 = 3 : 1$，当将两只螺线管串联在电路中通电稳定后，其自感系数之比 $L_1 : L_2$ 与磁能之比 $W_{m1} : W_{m2}$ 分别为
- A. $L_1 : L_2 = 1 : 2$，$W_{m1} : W_{m2} = 3 : 1$
- B. $L_1 : L_2 = 2 : 3$，$W_{m1} : W_{m2} = 3 : 4$
- C. $L_1 : L_2 = 3 : 4$，$W_{m1} : W_{m2} = 3 : 4$
- D. $L_1 : L_2 = 2 : 1$，$W_{m1} : W_{m2} = 4 : 3$
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答案：C
解析：
螺线管自感 $L = \mu n^2 \pi r^2 l$：
串联电流相同，$W_m = \dfrac{1}{2}LI^2$，故 $\dfrac{W_{m1}}{W_{m2}} = \dfrac{L_1}{L_2} = \dfrac{3}{4}$。
难度: ⭐⭐ 考点: #螺线管自感 #磁场能量 #串联电路
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📖 相关公式与知识点:
- 螺线管自感：$L = \mu n^2 \pi r^2 l$
- 磁场能量：$W_m = \dfrac{1}{2}LI^2$
- 串联特点：电流相同
思路分析
先由自感公式求比值，再利用串联电流相同求磁能之比。
易错点
- 自感与 $r^2$ 成正比，不是 $r$
- 串联时磁能之比等于自感之比
🔄 举一反三
- 若两螺线管并联（电压相同），磁能之比如何？
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答案：$W_{m1}:W_{m2} = 4:3$解析：并联电压相同，$W_m = U^2/(2\omega^2 L)$，故 $W_{m1}/W_{m2} = L_2/L_1 = 4/3$。
- 如图所示，一个矩形线圈，放在一根无限长载流直导线附近，开始时线圈与导线在同一平面内，矩形的长边与导线平行。若矩形线圈以图(1)、(2)、(3)、(4)所示的四种方式运动，则在开始瞬间，矩形线圈中的感应电流最大的运动方式是
- A. 以图(1)所示方式运动
- B. 以图(2)所示方式运动
- C. 以图(3)所示方式运动
- D. 以图(4)所示方式运动
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答案：B
解析：
感应电动势 $\varepsilon = -\mathrm{d}\Phi/\mathrm{d}t$，取决于磁通量变化率。无限长直导线 $B = \mu_0 I/(2\pi r)$，越靠近导线磁场越强且梯度越大。图(2)中线圈向导线靠近，磁通量变化最快，感应电流最大。
难度: ⭐⭐ 考点: #法拉第电磁感应定律 #磁通量变化率
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📖 相关公式与知识点:
- 法拉第定律：$\varepsilon = -\dfrac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}$
- 无限长直导线磁场：$B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$
思路分析
比较各种运动方式下磁通量的变化率。向导线靠近时变化最快。
易错点
- 沿导线方向平移不改变磁通量
- 远离导线时变化率比靠近时小
🔄 举一反三
- 若线圈面积减半但更靠近导线，感应电流如何变化？
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答案：取决于具体位置 解析：面积减半使磁通量减小，但靠近导线使磁场增强，两者竞争需具体计算。
- 关于同时性的以下结论中，正确的是
- A. 在一惯性系不同地点不同时发生的两个事件，在另一惯性系一定不同时发生
- B. 在一惯性系不同地点同时发生的两个事件，在另一惯性系一定同时发生
- C. 在一惯性系同一地点同时发生的两个事件，在另一惯性系一定同时发生
- D. 在一惯性系同时发生的两个事件，在另一惯性系一定不同时发生
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答案：C
解析：
由洛伦兹变换 $\Delta t' = \gamma(\Delta t - v\Delta x/c^2)$：
- A：$\Delta t \neq 0$，$\Delta x \neq 0$，可能 $\Delta t' = 0$。❌
- B：$\Delta t = 0$，$\Delta x \neq 0$，则 $\Delta t' = -\gamma v\Delta x/c^2 \neq 0$。❌
- C：$\Delta t = 0$，$\Delta x = 0$，则 $\Delta t' = 0$。✅
- D：同一地点同时的事件在另一系也同时。❌
难度: ⭐⭐ 考点: #同时性的相对性 #洛伦兹变换
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📖 相关公式与知识点:
- 洛伦兹变换：$\Delta t' = \gamma\left(\Delta t - \dfrac{v\Delta x}{c^2}\right)$
- 同时性的相对性只适用于不同地点
思路分析
用洛伦兹变换的时间差公式分析，关键是 $\Delta x = 0$ 且 $\Delta t = 0$ 时 $\Delta t' = 0$。
易错点
- "同时性的相对性"只适用于不同地点
- 同一地点的同时性是绝对的
🔄 举一反三
- 在S系中两事件 $\Delta t = 0$，$\Delta x = 10^8\ \mathrm{m}$，在 $v = 0.6c$ 的S'系中 $\Delta t'$ 为多少？
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答案：$\Delta t' = -0.25\ \mathrm{s}$解析：$\gamma = 1.25$，$\Delta t' = 1.25 \times (0 - 0.6 \times 3 \times 10^8 \times 10^8/(9 \times 10^{16})) = -0.25\ \mathrm{s}$。
- 以一定频率的单色光照射在某种金属上，测出的光电流曲线在图中用实线表示，然后保持光的频率不变，增大照射光的强度，测出的光电流曲线在图中用虚线表示。满足题意的图是
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答案：A
解析：
频率不变 → 截止电压 $U_0 = (h\nu - W)/e$ 不变；强度增大 → 光子数增多 → 饱和电流增大。图A符合：截止电压不变，饱和电流增大。
难度: ⭐⭐ 考点: #光电效应 #截止电压 #光电流
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📖 相关公式与知识点:
- 截止电压：$eU_0 = h\nu - W$（只与频率有关）
- 饱和电流与光强成正比
思路分析
频率不变→截止电压不变；强度增大→饱和电流增大。
易错点
- 截止电压由频率决定，不由光强决定
- 光强影响光子数目，不影响单个光子能量
🔄 举一反三
- 保持光强不变而增大频率，光电流曲线如何变化？
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答案：截止电压增大，饱和电流减小 解析：频率增大 → $U_0$ 增大；光强不变但频率增大 → 光子数减少 → 饱和电流减小。
- 将波函数在空间各点的振幅同时增大 $D$ 倍，则粒子在空间的分布概率将
- A. 增大 $D^2$ 倍
- B. 增大 $2D$ 倍
- C. 增大 $D$ 倍
- D. 不变
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答案：D
解析：
概率密度 $P(x) = \dfrac{|\psi|^2}{\int|\psi|^2\mathrm{d}x}$。振幅增大 $D$ 倍后：
分子分母的 $D^2$ 约去，概率分布不变。
难度: ⭐ 考点: #波函数 #概率密度 #归一化
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📖 相关公式与知识点:
- 概率密度：$P(x) = |\psi(x)|^2$（归一化后）
- 归一化条件：$\int|\psi|^2\mathrm{d}x = 1$
思路分析
概率是归一化后的量，振幅整体缩放不影响概率分布。
易错点
- 混淆"概率密度"和"波函数振幅的平方"
- 未归一化的 $|\psi|^2$ 不直接代表概率
🔄 举一反三
- 波函数 $\psi(x) = Ae^{-\alpha x^2}$，归一化常数 $A$ 改变时概率分布是否改变？
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答案：不改变 解析：归一化后概率分布 $|\psi|^2/\int|\psi|^2\mathrm{d}x$ 与 $A$ 无关。
二、填空题（共 30分）
1.（4分）设一半径为 $R$ 的各向同性均匀电介质球体均匀带电，其自由电荷体密度为 $\rho$，球体的介电常数为 $\varepsilon_1$，球体外充满介电常数为 $\varepsilon_2$ 的各向同性均匀电介质。则在球内距球心 $r$ 处，电场强度大小为______，电势为______。（设无穷远处为电势零点）
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答案：$E = \dfrac{\rho r}{3\varepsilon_1}$；$\varphi = \dfrac{\rho}{6\varepsilon_1}(R^2 - r^2) + \dfrac{\rho R^2}{3\varepsilon_2}$
解析：
球内场强（高斯定理）：$E \cdot 4\pi r^2 = \dfrac{\rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3}{\varepsilon_1}$，得 $E = \dfrac{\rho r}{3\varepsilon_1}$
球外场强：$E_{外} = \dfrac{\rho R^3}{3\varepsilon_2 r'^2}$
球内电势：
难度: ⭐⭐⭐ 考点: #高斯定理 #电介质 #电势
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📖 相关公式与知识点:
- 高斯定理（含介质）：$\oint \varepsilon\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S} = q_{自由}$
- 电势：$\varphi = \int_r^\infty \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{r}$
思路分析
分层用高斯定理求场强，再从场强积分求电势。注意球内外介电常数不同。
易错点
- 球内外介电常数不同
- 电势需从该点积分到无穷远
🔄 举一反三
- 若球外为真空（$\varepsilon_2 = \varepsilon_0$），球心处电势为多少？
查看练习答案与解析
答案：$\varphi(0) = \dfrac{\rho R^2}{6\varepsilon_1} + \dfrac{\rho R^2}{3\varepsilon_0}$解析：令 $r = 0$ 代入即可。
2.（3分）半径为 $R$ 的金属球离地面很远，并用导线与地相连，在与球心相距 $d = 3R$ 处有一点电荷 $+q$，如图所示，则金属球上的感应电量为______。
查看答案与解析
答案：$-\dfrac{q}{3}$
解析：
球接地，电势为零。点电荷在球心电势 $\varphi_q = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 \cdot 3R}$，感应电荷在球心电势 $\varphi_{q'} = \dfrac{q'}{4\pi\varepsilon_0 R}$。
由 $\varphi_q + \varphi_{q'} = 0$：$\dfrac{q}{12\pi\varepsilon_0 R} + \dfrac{q'}{4\pi\varepsilon_0 R} = 0$，得 $q' = -\dfrac{q}{3}$。
难度: ⭐⭐ 考点: #静电平衡 #接地导体 #电势叠加
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📖 相关公式与知识点:
- 接地导体电势为零
- 点电荷电势：$\varphi = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}$
思路分析
利用球心电势为零的条件，叠加点电荷和感应电荷的贡献。
易错点
- 感应电荷为负值
- 接地时球上总电荷不一定为零
🔄 举一反三
- 若 $d = 2R$，感应电量为多少？
查看练习答案与解析
答案：$-\dfrac{q}{2}$解析：$\dfrac{q}{8\pi\varepsilon_0 R} + \dfrac{q'}{4\pi\varepsilon_0 R} = 0$，$q' = -q/2$。
3.（4分）半径为 $a$ 的平面圆形线圈中载有电流 $I$，若线圈置于匀强磁场 $\vec{B}$ 中，磁场方向与线圈所在平面垂直，如图所示，则线圈上单位长度导线所受磁场力为______，左半圆受力为______。
查看答案与解析
答案：$IB$；$2BIa$（方向向左）
解析：
单位长度受力：$f = IB\sin 90° = IB$
左半圆受力：由对称性，$y$ 分量抵消，只有 $x$ 分量。等效于直径所受的力：
方向向左。
难度: ⭐⭐ 考点: #安培力 #磁场中的载流线圈
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 安培力：$\mathrm{d}\vec{F} = I\mathrm{d}\vec{l} \times \vec{B}$
- 圆弧受力 = 连接两端点的弦所受的力
思路分析
圆弧在均匀磁场中受力等于连接两端点的弦所受的力。
易错点
- 圆弧受力不等于弧长乘以单位力
- 需分解为分量再叠加
🔄 举一反三
- 整个圆形线圈在均匀磁场中所受合力为多少？
查看练习答案与解析
答案：零 解析：闭合线圈在均匀磁场中合力为零，但有力矩 $M = ISB$。
4.（3分）边长为 $a$ 的等边三角形导线圈中有电流 $I$ 按顺时针方向流动，则电流在此三角形中心点处的磁感应强度 $B$ 的大小为______。
查看答案与解析
答案：$\dfrac{9\mu_0 I}{2\pi a}$
解析：
中心到每条边的距离 $d = \dfrac{\sqrt{3}a}{6}$，每条边对中心张角 $60°$。
一条边在中心的磁场：
三条边叠加：$B = 3B_1 = \dfrac{9\mu_0 I}{2\pi a}$
难度: ⭐⭐ 考点: #毕奥-萨伐尔定律 #有限长直导线磁场
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 有限长直导线磁场：$B = \dfrac{\mu_0 I}{4\pi d}(\sin\theta_1 + \sin\theta_2)$
- 等边三角形中心到边距离：$d = \dfrac{\sqrt{3}a}{6}$
思路分析
先求一条边在中心的磁场，再乘以3。
易错点
- 中心到边的距离不是 $a/2$
- 每条边对中心张角是 $60°$
🔄 举一反三
- 正方形线圈（边长 $a$，电流 $I$）中心磁场为多少？
查看练习答案与解析
答案：$B = \dfrac{4\sqrt{2}\mu_0 I}{\pi a}$解析：中心到边距离 $a/2$，每条边张角 $90°$，$B_1 = \dfrac{\sqrt{2}\mu_0 I}{\pi a}$，$B = 4B_1$。
5.（3分）加在平行板电容器极板上的电压变化率为 $1.0 \times 10^6 \ \mathrm{V/s}$，在电容器内产生 $1.0\ \mathrm{A}$ 的位移电流，则该电容器的电容为______。
查看答案与解析
答案：$1.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{F} = 1.0\ \mu\mathrm{F}$
解析：
难度: ⭐ 考点: #位移电流 #电容器
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 位移电流：$I_d = C\dfrac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}t}$
思路分析
直接由位移电流公式反解电容。
易错点
- 位移电流不是电荷流动
- $10^{-6}\ \mathrm{F} = 1\ \mu\mathrm{F}$
🔄 举一反三
- 若电压按 $U = U_0\sin\omega t$ 变化，位移电流峰值是多少？
查看练习答案与解析
答案：$I_{d,\max} = C\omega U_0$解析：$I_d = C\omega U_0\cos\omega t$，峰值为 $C\omega U_0$。
6.（4分）半径为 $L$ 的均匀导体圆盘绕通过中心 $O$ 的垂直轴转动，角速度为 $\omega$，盘面与均匀磁场 $\vec{B}$ 垂直，如图所示。图上 $OM$ 线段中动生电动势的方向为______，电势差 $U_M - U_N = $______。（设MN段长度为 $d$）
查看答案与解析
答案：$O \to M$；$\dfrac{1}{2}B\omega d(2L - d)$
解析：
$OM$ 段上距 $O$ 为 $x$ 处速度 $v = \omega x$，电动势元 $\mathrm{d}\varepsilon = B\omega x\,\mathrm{d}x$。
难度: ⭐⭐ 考点: #动生电动势 #法拉第电磁感应定律
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 动生电动势：$\varepsilon = \int (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot \mathrm{d}\vec{l}$
- 圆盘转动：$v = \omega r$
思路分析
将 $OM$ 段视为运动导线元，积分求总电动势。
易错点
- 速度 $v = \omega x$ 随位置变化
- 电动势方向用 $\vec{v} \times \vec{B}$ 判断
🔄 举一反三
- 整个 $OM$ 段（长度 $L$）的电动势为多少？
查看练习答案与解析
答案：$\varepsilon = \dfrac{1}{2}B\omega L^2$解析：$\varepsilon = \int_0^L B\omega x\,\mathrm{d}x = \dfrac{1}{2}B\omega L^2$。
7.（3分）在 S 参考系中，有一个静止的正方形，面积是 $4\ \mathrm{dm}^2$，观测者 O'以 $0.6c$ 匀速度沿正方形的对角线运动，求 O'所测得的该图形的面积______。
查看答案与解析
答案：$3.2\ \mathrm{dm}^2$
解析：
正方形边长 $a = 2\ \mathrm{dm}$，对角线长 $l_0 = 2\sqrt{2}\ \mathrm{dm}$。
沿对角线方向收缩：$l = l_0\sqrt{1-0.36} = 2\sqrt{2} \times 0.8 = 1.6\sqrt{2}\ \mathrm{dm}$
垂直对角线方向不变。面积 = 两对角线乘积的一半：
或直接 $S = S_0 \times 0.8 = 3.2\ \mathrm{dm}^2$。
难度: ⭐⭐ 考点: #长度收缩 #洛伦兹收缩 #面积变换
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 长度收缩：$l = l_0\sqrt{1 - v^2/c^2}$
- 只有沿运动方向收缩
思路分析
沿对角线运动，一条对角线收缩，另一条不变，面积等于两对角线乘积的一半。
易错点
- 只有沿运动方向的长度收缩
- 对角线方向需正确分解
🔄 举一反三
- 若沿边长方向运动，面积变为多少？
查看练习答案与解析
答案：$3.2\ \mathrm{dm}^2$解析：沿边长方向收缩为 $1.6\ \mathrm{dm}$，垂直方向不变，$S = 1.6 \times 2 = 3.2\ \mathrm{dm}^2$。
8.（3分）一静止电子（静止质量 $0.51\ \mathrm{MeV}$）被 $0.13\ \mathrm{MV}$ 的电势差加速，然后以恒定速度运动，在达到最终速度后，飞越 $8.4\ \mathrm{m}$ 距离需要的时间是______。
查看答案与解析
答案：$4.6 \times 10^{-8}\ \mathrm{s}$
解析：
电子总能量：$E = 0.51 + 0.13 = 0.64\ \mathrm{MeV}$
洛伦兹因子：$\gamma = 0.64/0.51 \approx 1.255$
速度：$v = c\sqrt{1 - 1/\gamma^2} = c\sqrt{1 - (0.51/0.64)^2} \approx 0.604c$
时间：$t = \dfrac{L}{v} = \dfrac{8.4}{0.604 \times 3 \times 10^8} \approx 4.6 \times 10^{-8}\ \mathrm{s}$
难度: ⭐⭐ 考点: #相对论能量 #相对论速度
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 总能量：$E = \gamma m_0 c^2$
- 加速后：$E = m_0 c^2 + eU$
- 速度：$v = c\sqrt{1 - 1/\gamma^2}$
思路分析
先由加速电压求总能量和 $\gamma$，再求速度，最后求时间。
易错点
- 不能用经典动能公式 $\dfrac{1}{2}mv^2$
- 注意能量单位统一
🔄 举一反三
- 若加速电压为 $1\ \mathrm{MV}$，电子速度为多少？
查看练习答案与解析
答案：$v \approx 0.94c$解析：$E = 0.51 + 1.0 = 1.51\ \mathrm{MeV}$，$\gamma = 1.51/0.51 \approx 2.96$，$v = c\sqrt{1-1/2.96^2} \approx 0.94c$。
9.（3分）在描述氢原子状态的 4 个量子数中，若已知 $l = 3$，那么 $m_l$、$m_s$ 各能取哪些值？
查看答案与解析
答案：$m_l = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$；$m_s = \pm\dfrac{1}{2}$
解析：
$l = 3$（f轨道），$m_l$ 取值范围为 $-l$ 到 $+l$，即 $-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$（共7个值）。
$m_s$ 只能取 $\pm\dfrac{1}{2}$。
难度: ⭐ 考点: #量子数 #氢原子
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📖 相关公式与知识点:
- 角量子数：$l = 0, 1, \ldots, n-1$
- 磁量子数：$m_l = -l, -l+1, \ldots, l$（共 $2l+1$ 个值）
- 自旋量子数：$m_s = \pm 1/2$
思路分析
直接由量子数取值规则确定。
易错点
- $m_l$ 的取值范围是 $-l$ 到 $+l$
- $l = 3$ 对应 f 轨道
🔄 举一反三
- 若 $l = 2$（d轨道），$m_l$ 可取哪些值？共有多少个量子态？
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答案：$m_l = -2, -1, 0, 1, 2$；共 $5 \times 2 = 10$ 个量子态 解析：$m_l$ 有5个值，每个 $m_l$ 对应 $m_s = \pm 1/2$ 两个态，共10个量子态。
三、计算题（共 46分）
1.（10分）一锥顶角为 $\theta$ 的圆台，上下底面半径分别为 $R_1$ 和 $R_2$，在它的侧面上均匀带电，电荷面密度为 $\sigma$，求顶点 O 的电势。（以无穷远处为电势零点）
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答案：$\varphi_O = \dfrac{\sigma(R_2 - R_1)}{2\varepsilon_0\sin\dfrac{\theta}{2}}$
解析：
第一步：建立坐标系
以顶点 $O$ 为原点，沿轴线方向。圆台侧面上的点到 $O$ 的距离为 $l$，该处圆环半径为 $r = l\sin\dfrac{\theta}{2}$。
第二步：取圆环微元
在距 $O$ 为 $l$ 处取宽度 $\mathrm{d}l$ 的圆环，其面积 $\mathrm{d}S = 2\pi r \cdot \dfrac{\mathrm{d}l}{\cos(\theta/2)} = \dfrac{2\pi l\sin(\theta/2)}{\cos(\theta/2)}\mathrm{d}l$
电荷量 $\mathrm{d}q = \sigma\mathrm{d}S$
第三步：求圆环在 $O$ 点的电势
第四步：积分
$l$ 的范围：从 $R_1/\sin(\theta/2)$ 到 $R_2/\sin(\theta/2)$
难度: ⭐⭐⭐ 考点: #电势叠加 #连续带电体 #积分法
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📖 相关公式与知识点:
- 点电荷电势：$\varphi = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}$
- 连续带电体电势：$\varphi = \int \dfrac{\mathrm{d}q}{4\pi\varepsilon_0 r}$
- 圆环微元法
思路分析
将圆台侧面分割为一系列圆环，每个圆环上各点到顶点距离相同，积分求总电势。
易错点
- 圆环宽度不是 $\mathrm{d}l$，需考虑斜面倾角
- 积分限由几何关系确定
🔄 举一反三
- 若为完整圆锥（$R_1 = 0$），顶点电势为多少？
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答案：$\varphi_O = \dfrac{\sigma R_2}{2\varepsilon_0\cos(\theta/2)}$解析：令 $R_1 = 0$ 代入即可。
2.（10分）如图所示，将一无限大均匀载流平面放入匀强磁场中，匀强磁场方向沿 $Ox$ 轴正方向，电流方向与磁场方向垂直指向纸面内。已知放入后平面两侧的总磁感强度分别为 $\vec{B}_1$ 与 $\vec{B}_2$。求该载流平面上单位面积所受的磁场力。
查看答案与解析
答案：$f = \dfrac{B_1^2 - B_2^2}{2\mu_0}$，方向沿 $x$ 轴
解析：
第一步：求面电流密度
设外磁场 $B_0$ 沿 $x$ 正方向，载流平面产生的磁场在两侧分别为 $\pm\dfrac{\mu_0 K}{2}$。
设平面电流指向纸面内（$-z$ 方向），则：
左侧：$B_1 = B_0 - \dfrac{\mu_0 K}{2}$（$x$ 方向）
右侧：$B_2 = B_0 + \dfrac{\mu_0 K}{2}$（$x$ 方向）
第二步：解出面电流密度
第三步：求安培力
载流平面在磁场中受力，平面处的磁场为外磁场 $B_0$（不包括自身产生的磁场）：
方向沿 $x$ 轴。
难度: ⭐⭐⭐ 考点: #无限大载流平面 #安培力 #磁场叠加
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📖 相关公式与知识点:
- 无限大载流平面磁场：$B = \dfrac{\mu_0 K}{2}$
- 安培力：$\vec{F} = I\vec{l} \times \vec{B}$
- 磁场叠加原理
思路分析
先由两侧总磁场求面电流密度和外磁场，再用安培力公式求力。注意平面受力用外磁场（不含自身磁场）。
易错点
- 安培力中的磁场是外磁场，不包括载流平面自身产生的磁场
- 面电流密度方向与磁场方向垂直
🔄 举一反三
- 若 $B_1 = B_2$，安培力为多少？
查看练习答案与解析
答案：零 解析：$B_1 = B_2$ 说明面电流密度 $K = 0$，不受力。
3.（10分）一截面为矩形的螺绕环，高为 $h$，内外半径分别为 $a$ 和 $b$，环上均匀密绕 $N$ 匝线圈。在环的轴线上有一条长直导线AB，如图所示。求：
(1) 当螺绕环导线中电流为 $I_0$ 时，螺绕环中储存的磁场能量；
(2) 螺绕环的自感系数；
(3) 当螺绕环导线中的电流以 $I = I_0 - \lambda t$ 的规律随时间变化时（$I_0$、$\lambda$ 均为大于零的常量），长直导线中感应电动势的表达式及方向。（设螺绕环通电流时，线圈外侧电流向上。）
查看答案与解析
答案：（1）$W_m = \dfrac{\mu_0 N^2 I_0^2 h}{4\pi}\ln\dfrac{b}{a}$；（2）$L = \dfrac{\mu_0 N^2 h}{2\pi}\ln\dfrac{b}{a}$；（3）$\varepsilon = \dfrac{\mu_0 N\lambda h}{2\pi}\ln\dfrac{b}{a}$，方向A→B
解析：
（1）磁场能量
螺绕环内磁场（距轴线 $r$ 处）：
磁能密度：$w_m = \dfrac{B^2}{2\mu_0} = \dfrac{\mu_0 N^2 I_0^2}{8\pi^2 r^2}$
（2）自感系数
（3）感应电动势
长直导线与螺绕环的互感：
方向：由楞次定律判断，电流减小，磁通减小，感应电动势方向使感应电流的磁场维持原磁通，故方向A→B。
难度: ⭐⭐⭐ 考点: #螺绕环 #磁场能量 #自感 #互感 #电磁感应
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📖 相关公式与知识点:
- 螺绕环磁场：$B = \dfrac{\mu_0 NI}{2\pi r}$
- 磁能密度：$w_m = \dfrac{B^2}{2\mu_0}$
- 自感与磁能：$W_m = \dfrac{1}{2}LI^2$
- 互感电动势：$\varepsilon = -M\dfrac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}$
思路分析
先求磁场分布，积分得磁能，由磁能求自感，再由互感求感应电动势。
易错点
- 螺绕环磁场与 $r$ 成反比，需积分求磁能
- 互感系数等于单匝情况下的磁通量
- 感应电动势方向由楞次定律判断
🔄 举一反三
- 若螺绕环截面为正方形（$h = b - a$），自感系数如何？
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答案：$L = \dfrac{\mu_0 N^2(b-a)}{2\pi}\ln\dfrac{b}{a}$解析：将 $h = b - a$ 代入即可。
4.（10分）设一粒子沿 $x$ 方向运动，其波函数为 $\varphi(x) = \dfrac{A}{1 + ix}$。
(1) 将此波函数归一化；
(2) 在何处找到粒子的概率最大？
(3) 在 $x = \pm 1$ 之间粒子出现的概率。
（已知：$\displaystyle\int \dfrac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x = \arctan x + C$）
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答案：（1）$A = \sqrt{\dfrac{2}{\pi}}$；（2）$x = 0$；（3）$P = \dfrac{2}{\pi}\arctan 1 = \dfrac{1}{2}$
解析：
（1）归一化
归一化条件：
（注：取 $A$ 为实数）
（2）概率最大位置
概率密度 $P(x) = \dfrac{1}{\pi(1+x^2)}$，当 $x = 0$ 时分母最小，概率最大。
（3）$x = \pm 1$ 之间的概率
难度: ⭐⭐ 考点: #波函数归一化 #概率密度 #量子力学
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📖 相关公式与知识点:
- 归一化条件：$\int|\varphi|^2\mathrm{d}x = 1$
- 概率密度：$P(x) = |\varphi(x)|^2$
- $|1+ix|^2 = 1+x^2$
思路分析
先求 $|\varphi|^2$，再归一化求 $A$，然后分析概率密度找最大值，最后积分求区间概率。
易错点
- $|1+ix|^2 = (1+ix)(1-ix) = 1+x^2$，不是 $(1+ix)^2$
- 归一化积分限是 $(-\infty, +\infty)$
🔄 举一反三
- 在 $x = \pm 2$ 之间粒子出现的概率是多少？
查看练习答案与解析
答案：$P = \dfrac{2}{\pi}\arctan 2 \approx 0.70$解析：$P = \dfrac{1}{\pi}[\arctan 2 - \arctan(-2)] = \dfrac{2\arctan 2}{\pi} \approx 0.70$。
5.（6分）束缚在原子中的电子，可以完全吸收某些特定频率的光子，跃迁到更高的能级上去，而一个自由电子不能一次性完全吸收一个光子的能量。请用我们学过的物理规律解释这一现象。
查看答案与解析
答案：见解析
解析：
第一步：分析自由电子吸收光子
假设自由电子能完全吸收一个光子，由能量守恒和动量守恒：
能量守恒：$h\nu + m_0c^2 = \gamma m_0 c^2$
动量守恒：$\dfrac{h\nu}{c} = \gamma m_0 v$
由两式消去 $h\nu$：
由于 $\gamma > 1$ 且 $v < c$，$\dfrac{\gamma v}{\gamma - 1} > v$，但上式要求等于 $c$，这意味着 $v$ 必须满足特定关系。
实际上，从 $\gamma c - c = \gamma v$ 得 $c(\gamma - 1) = \gamma v$，即 $c = \dfrac{\gamma v}{\gamma - 1}$。
由 $\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$，代入可得 $v = c\sqrt{1-1/\gamma^2}$，则：
这要求 $\sqrt{\gamma^2 - 1} = \gamma - 1$，即 $\gamma^2 - 1 = \gamma^2 - 2\gamma + 1$，得 $\gamma = 1$，即 $v = 0$。但 $v = 0$ 时电子没有吸收光子，矛盾。
因此自由电子不能完全吸收一个光子。
第二步：束缚电子可以吸收光子
束缚电子吸收光子时，动量可以传递给整个原子（原子核参与），能量守恒和动量守恒可以同时满足。原子质量远大于电子质量，反冲动能很小，光子能量几乎全部用于电子跃迁。
难度: ⭐⭐⭐ 考点: #能量守恒 #动量守恒 #光电效应 #康普顿散射
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📖 相关公式与知识点:
- 能量守恒：$h\nu + E_初 = E_末$
- 动量守恒：$\vec{p}_{光子} + \vec{p}_{初} = \vec{p}_{末}$
- 自由电子与光子作用只能散射（康普顿散射），不能完全吸收
- 束缚电子可完全吸收（光电效应），多余动量由原子核承担
思路分析
证明自由电子不能完全吸收光子，关键是联立能量守恒和动量守恒，导出矛盾。束缚电子可以吸收是因为原子核参与了动量守恒。
易错点
- 不能只考虑能量守恒，必须同时满足动量守恒
- 束缚电子吸收光子时，动量传递给整个原子
🔄 举一反三
- 自由电子与光子作用时，实际发生的是什么过程？
查看练习答案与解析
答案：康普顿散射（光子被散射，波长增大，电子获得反冲动能） 解析：自由电子不能完全吸收光子，只能发生散射。散射后光子能量减小（波长增大），电子获得部分动能，同时满足能量守恒和动量守恒。